تقاطع طلایی چیست و چگونه کار می کند؟

در سراسر جهان: پیدا کردن نسبت طلایی

بنابراین بسیاری از دانش آموزان این سؤال را می پرسند "چه زمانی من در دنیای واقعی ریاضی را پیدا می کنم یا از آن استفاده می کنم؟"من این دانشجویان را تشویق می کنم تا زندگی روزمره خود را برای نمونه هایی از ریاضیات تحقیق و کشف کنند. این که آیا آنها قادر به تشخیص آن هستند یا نه ، ریاضیات معمولاً زیر بینی آنها است. نسبت طلایی نمونه ای عالی از ریاضیات است که تقریباً هر روز با آن روبرو می شویم ، بدون اینکه حتی آن را بدانیم. این نسبت ایده آل توسط بسیاری به دلیل فریب ظاهری چشم انسان استفاده می شود. گفته می شود که نسبت طلایی جذاب ترین نسبت است و بنابراین به طور مکرر مورد استفاده قرار می گیرد. همه چیز از شرکت های تبلیغاتی تجاری ، گرفته تا نقاشان ، حتی پزشکان این نسبت "جادویی" را در کار خود گنجانیده اند.

اما نسبت طلایی چیست؟از نظر ریاضی ، ارزش نسبت طلایی معادل یا حدود 1. 618 است. این نسبت یک به علاوه ریشه مربع پنج به مقدار دو با استفاده از مداد ، قطب نما و لبه مستقیم ایجاد می شود. ما همچنین می توانیم از Sketchpad Geometer برای تولید نسبت طلایی استفاده کنیم. در زیر مراحل ایجاد نسبت طلایی خود با استفاده از طرح Geometer's Sketchpad آورده شده است. این ساخت و ساز می تواند به عنوان یک تظاهرات یا به عنوان فعالیتی برای دانش آموزان استفاده شود تا بتوانند در هنگام یادگیری در مورد نسبت طلایی ، با هم کشف کنند.

مراحل ساخت نسبت طلایی:

1. یک قطعه خط از هر طول بکشید.

2. نقطه میانی بخش AB را پیدا کنید. بخشی از نقطه میانی تا نقطه B ایجاد کنید.

3. یک خط عمود بر بخش در نقطه B ایجاد کنید.

4- با استفاده از نقطه B به عنوان مرکز و بخش میانی به عنوان شعاع ، یک دایره درست کنید.

5- نقطه ای را علامت گذاری کنید که دایره از خط عمود عبور کند. یک پرتوی را از نقطه A بکشید و از نقطه تقاطع عبور کنید.

6. یک دایره دیگر با محوریت نقطه تقاطع با قطعه نقطه میانی به عنوان شعاع بکشید. نقطه تقاطع دایره را با پرتو علامت گذاری کنید.

7. طول قطعه قطعه تقسیم شده بر طول قطعه AB باید مقدار نسبت طلایی را به شما بدهد.

من پرونده Sketchpad Geometer را که در آن ابزار نسبت طلایی من در آن گنجانده شده است ، پیوند داده ام: ابزار نسبت طلایی

تاریخچه نسبت طلایی

آوردن ریاضیات به زندگی یک راه عالی برای علاقه مندان به موضوعات است. یکی از راه های انجام این کار ، بحث در مورد اینکه چه کسی ، چه ، کجا ، و چه زمانی قضیه ها و/یا مباحث ریاضی کشف شد. تاریخچه ریاضیات می تواند به دانش آموزان کمک کند تا موضوع را واقعی تر ببینند. کمک به دانش آموزان برای کشف ریاضیدانان در پشت ریاضیات ممکن است آنها را ترغیب کند تا بیشتر درگیر روند یادگیری شوند. نسبت طلایی فرصتی عالی برای معلمان فراهم می کند تا علاقه تاریخ خود را برای دانش آموزان نادیده بگیرند. از دانش آموزان بخواهید گروه های سه یا چهار نفره را تشکیل دهند و به آنها اجازه دهند تا ریاضیدانان مختلف را که با نسبت طلایی مرتبط هستند تحقیق کنند. در داخل گروه ، دانش آموزان باید بحث در مورد تاریخچه نسبت طلایی با یکدیگر را آغاز کنند. در زیر پیوندی برای یک برگه استارت است که می تواند به هر گروه برای تشویق بحث خود داده شود.

دانش آموزان به زودی از طریق کاوش های خود می یابند که یک تاریخ وجود ندارد که مورخان بتوانند به عنوان تاریخ کشف نسبت طلایی مشخص کنند. پیشنهاد می شود که این نسبت بارها در طول تاریخ کشف و کشف مجدد شود. با این حال ، همچنین پیشنهاد شده است که هیچ یک از وقایع نسبت طلایی عمداً انجام نشده است ، اما ساختارها ، نقاشی ها و غیره متناسب با نسبت ، PHI اتفاق می افتد. نسبت طلایی را می توان در سازه هایی که توسط مصریان ساخته شده و حتی در کتاب مقدس درج شده است ، یافت. گفته می شود مصری ها هنگام ساخت اهرام بزرگ از این نسبت استفاده کرده اند ، در حالی که یونانیان هنگام طراحی پارتنون از آن استفاده می کردند. بحث در مورد اینکه آیا مصریان و یونانیان ، در میان دیگران ، در واقع از این نسبت استفاده کرده اند یا اینکه آیا محصولات آنها به این نسبت متناسب است ، هنوز هم اغلب مورد بحث قرار می گیرد. در حقیقت ، بسیاری از افراد از نسبت طلایی به عنوان نامه یونانی فی ، استفاده می کنند. نام دیگری که نسبت به آن نسبت داده شده است ، نسبت الهی 1500 توسط داوینچی است. تحقیق در مورد این موضوع ریاضی شگفت انگیز است و می بینید که چگونه ایده های بسیاری از قبیل علم ، هنر ، ساخت و سازها و بسیاری از مفاهیم ریاضی را به هم پیوسته است. در زیر من بسیاری از موارد جالب PHI را در طول زمان ، و چگونگی نشان دادن آن در زندگی روزمره ما گنجانده ام.

سایت مورد استفاده برای اطلاعات تاریخ (از جمله تصاویر): http://goldennumber. net/history. htm

همانطور که قبلاً ذکر شد ، مصریان هنگام ساخت اهرام بزرگ از PHI استفاده کردند.

بخش طلایی سال هاست که در هنر مورد استفاده قرار می گیرد. داوینچی در اینجا از بخش طلایی هنگام خلق پرتره شام آخر استفاده کرد. نسبت های کلیدی در تصویر بالا دیده می شود.

تبلیغات یکی دیگر از راه های بزرگی است که در آن از شماره طلایی استفاده می شود. از آنجایی که بسیاری بر این باورند که نسبت برای چشم انسان ایده آل ترین است، این یک راه عالی برای تبلیغ کنندگان است تا توجه مشتریان خود را جلب کنند. بطری هایی که اغلب برای نوشابه ها استفاده می شوند با استفاده از عدد طلایی ایجاد می شوند. در این تصویر می‌توانیم ببینیم که چگونه برچسب در تناسب قرار می‌گیرد.

ساخت نوتردام در پاریس همچنین شامل استفاده از فی بود. بخش‌های آبی و سفید نسبت ایده‌آل را نشان می‌دهند که چندین بار ترکیب شده است.

یونانیان به این نسبت به عنوان تقسیم یک خط «در نسبت شدید و متوسط» اشاره می‌کنند که هنگام ساخت پارتنون از آن استفاده می‌کنند.

امروزه بسیاری از دندانپزشکان و جراحان دهان هنگام بازسازی دندان بیماران از برش طلایی استفاده می کنند. گفته می شود لبخندهای جذاب دارای نسبت الهی هستند و گاهی اوقات جذابیت فوری ما را برای دیگری توضیح می دهند.

حتی آلات موسیقی با ایده فی در ذهن ساخته می شوند. در اینجا ویولن و نسبت های الهی آن به تصویر کشیده شده است.

عدد طلایی اغلب در طبیعت نیز یافت می شود. هنگام اندازه گیری ویژگی های متمایز حیوان، چیزهایی مانند حشرات را می توان یافت که دارای عدد طلایی هستند.

بدن خود ما به طور طبیعی فی را ترکیب می کند. نسبت های زیادی در قسمت های مختلف بدن ما به ما اجازه می دهد تا زنده شدن فی را ببینیم!

ممکن است تعجب کنیم که چرا برخی افراد برای همه اینقدر جذاب هستند؟گفته می شود که دلیل آن این است که چهره آنها شامل موارد زیادی از نسبت طلایی است. اعتقاد بر این است که جورج کلونی چهره بسیار طلایی دارد، به همین دلیل است که بسیاری از مردم به او جذب می شوند.

در ابتدای این صفحه، نحوه ایجاد نسبت طلایی با استفاده از ساختارهای GSP را مورد بحث قرار دادیم. با استفاده از این ابزار نسبت طلایی، می‌توانیم اشکال هندسی طلایی ایجاد کنیم. ابتدایی ترین شکل طلایی که می توانیم از این ابزار ایجاد کنیم، مستطیل طلایی است. اگر نخواهیم از ابزاری که قبلا ساخته شده استفاده کنیم، می توانیم به راحتی یک مستطیل طلایی از ابتدا بسازیم. طول ضلع مستطیل طلایی 1 و طول پایه فی است. این نسبت اضلاع Phi/1 را به ما می دهد که هدف ما همین است. بنابراین، ما با یک مربع با طول ضلع 1 شروع می کنیم.

سپس ، برای ساختن مربع خود از طول سمت 1 ، خطوط عمود بر نقاط انتهایی سمت داده شده به سمت آن بسازید. با استفاده از هر نقطه پایانی به عنوان یک مرکز و طرف به عنوان شعاع سازه برای نشان دادن طول سمت 1 در خطوط عمود. نقاط تقاطع را علامت گذاری کنید و بخشی را از دو نقطه تقاطع بسازید تا مربع خود از طول سمت 1 را تکمیل کنید.

اکنون ما یک مربع از طول جانبی داریم. اکنون با انجام اقدامات مشابهی که برای ایجاد ابزار نسبت طلایی بردیم ، باید طول جانبی را ایجاد کنیم. ابتدا یک پرتوی را از راس سمت چپ پایین و از طریق راس پایین سمت راست گسترش دهید.

اکنون نقطه میانی سمت پایین را پیدا کنید و بخش میانی را تشکیل دهید. با استفاده از راس پایین سمت راست و بخش میانی یک دایره ایجاد کنید. نقطه تقاطع را علامت گذاری کنید که در آن دایره از خط موازی که از پایه مربع امتداد دارد ، تقاطع می کند.

برای تکمیل مستطیل طلایی ، یک خط عمود را از نقطه تقاطع درست ساخته شده ، و همچنین یک خط موازی که قسمت بالای مربع را گسترش می دهد ، بسازید. نقطه تقاطع را که در آن دو خط عبور می کنند ، بسازید. این مستطیل طلایی شما را کامل می کند.

برای تکمیل ساخت مستطیل طلایی ما ، می توانیم ثابت کنیم که نسبت این دو مستطیل در واقع نسبت طلایی است. دو مستطیل که فرض می کنیم با تعریف مستطیل های طلایی مشابه هستند ، مستطیل قرمز (با طرفین برابر با ( x-1) و 1) و کل مستطیل (با طرفین برابر با x و 1) هستند.

با توجه به اینکه پایه مستطیل بزرگ مقداری است ، x ، می توانیم بر اساس فرض شباهت ، اثبات خود را شروع کنیم.

در زیر من سند Sketchpad Geometer خود را ضمیمه کرده ام که شامل ابزار من است که به شما امکان می دهد مستطیل های طلایی و همچنین اثبات نوشته شده در بالا را ایجاد کنید.

پیدا کردن نسبت طلایی از طریق ریاضیات

با استفاده از جبر ساده می توانیم مقدار فی را به صورت ریاضی محاسبه کنیم. هنگام معرفی این ایده ریاضی، می توانید با درخواست از دانش آموزان جبر خود برای حل تابع درجه دوم، شروع کنید. این ضریب درجه دوم مستقیماً از استدلال توضیح داده شده در بخش بالا در مورد مستطیل طلایی می آید. هنگامی که این تابع را به دانش آموزان معرفی می کنید، مطمئن شوید که در مورد چگونگی بدست آوردن آن از نسبت اضلاع یک مستطیل طلایی (از بالا) صحبت کرده اید. با استفاده از معادله درجه دوم، دانش آموزان شما به راحتی می توانند ارزش خود را پیدا کنند. با وصل کردن مقادیر مناسب از تابع درجه دوم، می توانیم ببینیم که . بنابراین، که در واقع معادل عدد طلایی تقریباً 1. 618 برای محلول جمع است.

راه دیگری برای نشان دادن اینکه چگونه می توانید مقدار Phi را به صورت ریاضی پیدا کنید، استفاده از صفحات گسترده است. برنامه هایی مانند اکسل، راهی عالی برای کمک به دانش آموزان برای درک ریاضیات پشت یک مقدار است. با Phi، دو راه وجود دارد که بتوانیم از صفحات گسترده برای یافتن مقدار استفاده کنیم. راه اول با تکرار تابع است، زمانی که مقدار شروع شما از 1 در کادر B2 قرار دارد. سپس کادر حاوی تابع را برجسته کنید و 20 یا بیشتر کادر بعدی را در ستون پر کنید.

دانش آموزان شما خواهند دید که در نهایت مقداری که به دست می آورید به حدود 1. 618 می رسد، که در واقع مقدار فی است. در اصل، با استفاده از صفحه‌گسترده‌ها از دانش‌آموزانتان، می‌خواهید محدودیت‌های سری را نشان دهند. با انجام این کار، نه تنها ایده فی را نشان می دهید، بلکه ایده ریاضی محدودیت ها را به هم متصل می کنید. برای نشان دادن مقدار Phi با استفاده از صفحه‌گسترده، دانش‌آموزان می‌توانند همان مراحل را انجام دهند، به جز اینکه با مقدار شروع 2 شروع کنند و تابع را تکرار کنند. مجدداً کادر حاوی تابع را برجسته کنید و 20 یا بیشتر کادر بعدی را در ستون پر کنید.

دانش‌آموزان دوباره خواهند دید که در نهایت مقداری که به دست می‌آورید به حدود 1. 618 می‌رسد، که دوباره مقدار فی است. اکنون دانش‌آموزان در حال یافتن محدودیت سری هستند که در آن . با انجام این کار به روشی دیگر، مفهوم محدودیت را حتی بیشتر به Phi متصل می کنیم. در زیر یک کپی از یک فایل صفحه گسترده اکسل که شامل دو تقریب Phi با استفاده از ریشه و کسری است، پیوست کرده ام.

ما به عنوان معلمان همیشه به دنبال فعالیت های جدید و کارهای ارزشمند هستیم تا در برنامه درسی کلاس خود بگنجانیم. هنگام کار بر روی نسبت طلایی ، فرصت های زیادی برای ایجاد مطالب "زنده" وجود دارد. برای این فعالیت به دانش آموزان این فرصت داده می شود که سنجش بخش طلایی خود را ایجاد کنند. این سنج به آنها امکان می دهد اشیاء مختلف ، تبلیغات و/یا موارد موجود در زندگی روزمره خود را اندازه گیری کنند تا نمونه هایی از نسبت طلایی پیدا کنند. من مراحل لازم برای ساخت سنج را طی خواهم کرد. این یک ساخت و ساز ساده است و بنابراین دانش آموزان بدون مشکل زیاد امتحان می کنند.(این فعالیت از وب سایت زیر اقتباس شده است: http://goldennumber. net/goldgrid. htm)

مرحله 1: از پوستر یا مقوا سنگین استفاده کنید تا چهار قطعه طول 340 میلی متر ، 340 میلی متر ، 210 میلی متر و 130 میلی متر را بکشید.

مرحله 2: هر یک از چهار بخش را برش دهید. اینها بازوهای شما خواهد بود.

مرحله 3: در هر یک از بازوهای 340 میلی متر ، بخشی از 130 میلی متر را که از یکی از انتهای بازو امتداد دارد ، علامت بزنید. در بازوی 210 میلی متر ، بخشی از 180 میلی متر را که از یکی از انتهای بازو امتداد دارد ، علامت بزنید.

مرحله 4: سوراخ های کوچک را در بالای بازوهای 340 میلی متر ایجاد کنید (انتهایی که بخش 130 میلی متر در آن مشخص شده است) و در بخش های بخش انتهای بخش های 13 میلی متر ، سوراخ هایی در بالای بازوی 210 میلی متر (پایان آن در مقابلبخش 180 میلی متر) و همچنین در بخش قطعه 180 میلی متر و سوراخ در هر انتهای بازوی 130 میلی متر.

مرحله 5: با استفاده از اتصال دهنده هایی که می توانید در هر فروشگاه عرضه اداری دریافت کنید (به 4 نفر نیاز خواهید داشت) ، سنج را به گونه ای ببندید که بازوهای 340 میلی متر در قسمت بیرونی قرار داشته باشد و بازوی 210 میلی متر در سمت چپ 130 استبازوی میلی متر

در بالا سنجش نسبت طلایی کامل است که دانش آموزان شما قادر به ساخت آن هستند. دانش آموزان خود را ترغیب کنید تا با استفاده از سنج جدید خود ، وقایع جالب نسبت طلایی را پیدا کنند. من یک نسخه از یک برگه را درج کرده ام که می توانید در کلاس خود از آنها استفاده کنید تا به دانش آموزان خود کمک کنید زیرا آنها از طریق فعالیت کار خود را انجام می دهند.

ما بسیاری از موارد مربوط به نسبت طلایی را مورد بررسی قرار داده ایم ، با این حال فعالیت های بسیاری ، اکتشاف ریاضی و غیره وجود دارد که به نسبت طلایی متصل می شوند. پیدا کنید که نسبت طلایی با منافع شخصی شما ارتباط دارد. تعجب خواهید کرد که چگونه نسبت طلایی به هم وصل شده است!